| 第5回 ～一次関数（中級：直線の式）～ （対象：中学2年以上） | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 前回に引き続き、一次関数を 一次関数の問題は｢直線の式を求める｣がメインとなる事が多い。 この問題は、３年生で習う二次関数や図形の問題と絡む事が多いため、かなり重要なパートと言えよう。 ゆえに解けなかった問題は｢あ、そうか｣だけで終わらずにできるまで解いて欲しい。 それでは、直線の式の作り方について やり方は色々あるんだけど、僕はこの手順で求める （Ａ）傾き（変化の割合）：a を求める （Ｂ）y=aX+bにaを入れた上、与えられた1点を代入し、切片：bを求める （Ｃ）aとbを式：y=aX+bに戻し、完成 時々これに当てはまらない場合もあるが、２点が与えられる問題などで連立方程式を使った解き方だけは絶対にやめたほうがいい 解き方に統一感がないと、方法を忘れてしまう事が多い。 また、連立方程式は解き方としては問題無いけれども、一次関数の根本的な部分には触れずに解けてしまうので、あまりお薦めできないのだ。 それでは問題にいきましょう。 【問題①】 傾きが３で、点（１、４）を通る直線を求めろ。 【問題①解】 では手順通りに （Ａ）傾きは３と言っているのだから、a＝3 （Ｂ）y=3X+b（傾きだけ代入した式） これに与えられた点（１、４）を上の式に入れると ４＝３×１＋ｂ ｂ＝１ となる （Ｃ） a＝３、b＝１ なので答えはｙ=３Ｘ＋１ 【問題②】 変化の割合がー１で、Ｘ＝－２のときＹ＝３の直線を求めろ 【問題②解】 （Ａ）変化の割合は３と言っているのだから、a＝－１ （Ｂ）y=ーX+b（傾きだけ代入した式） Ｘ＝－２のときＹ＝３とは（－２、３）の点と同じ意味である ゆえに点（－２、３）を上の式に入れると ３＝－１×（－２） ＋b ｂ＝１ となる （Ｃ） a＝－１、b＝１ なので答えはｙ=ーＸ＋１ 【問題③】 Ｘが２増えるとＹは４減少し（－１、８）を通る直線を求めろ 【問題③解】 この辺から戸惑うかな？ 重要なのは前回登場した
である。 これが分かっていないと、この問題を解く事は不可能だ （Ａ）上の式に代入すると
である。 よってa＝－２ （Ｂ）y=ー2X+b（傾きだけ代入した式） これに与えられた点（－１、８）を上の式に入れると ８＝－２×（－１） ＋b ｂ＝６ となる （Ｃ） a＝－２、b＝６ なので答えはｙ=ー２Ｘ＋６ それでは、類題を 【問題④】 Ｘの増加量がー３のとき、Ｙの増加量が１２であり Ｘ＝－５のとき、Ｙ＝６ この直線を求めろ 【問題④解】 増加量と点の見分けがちゃんとできたかな？ （Ａ）傾きを求める式に代入すると
よって a＝－４ （Ｂ）y=ー４X+b（傾きだけ代入した式） これに与えられた点（－５、６）を上の式に入れると ６＝－４×（－５） ＋b ｂ＝－１４ となる （Ｃ） a＝－４、b＝－１４ なので答えはｙ=ー４Ｘ－１４ 【問題⑤】 （４，１）（２，５）を通る直線を求めろ 【問題⑤解】 ２点を通る式。かなーーーり重要である。 冒頭でも述べたが、連立方程式を使う事の無いように （Ａ）点の特性を捉える （４，１）→（２，５）に移動したと考えると ｘは ４ → ２ ＝ －２の移動 ｙは １ → ５ ＝ ４の移動 すなわち Ｘの増加量はー２、Ｙの増加量は４である
よってa＝－２ （Ｂ）y=ー2X+b（傾きだけ代入した式） これに与えられた１点（どちらでもＯＫ）（４、１）を上の式に入れると １＝－２×４ ＋b ｂ＝９ となる （Ｃ） a＝－２、b＝９ なので答えはｙ=ー２Ｘ＋９ 類題をやっておこう 【問題⑥】 （１，４）（３，１０）を通る直線を求めろ 【問題⑥解】 （Ａ）⑤と同じように （１，４）→（３，１０）に移動したと考えると ｘは １ → ３ ＝ ２の移動 ｙは ４ → １０ ＝ ６の移動 すなわち Ｘの増加量は２、Ｙの増加量は６である
よってa＝３ （Ｂ）y=３X+b（傾きだけ代入した式） これに与えられた１点（どちらでもＯＫ）（１、４）を上の式に入れると ４＝３×１ ＋b ｂ＝１ となる （Ｃ） a＝３、b＝１ なので答えはｙ=３Ｘ＋１ ここまでがいわゆる一般的な問題である ここまでが完璧に解ければ標準的な問題に関しては解けるのだが、ここにちょっとした応用が加えられてしまうのが一次関数の厄介なところだ 問題を解きながら解説していこう 【問題⑦】 Ｙ＝５Ｘ－１に平行で点（３，７）を通る直線を求めろ。 【問題⑦解】 平行という言葉が何を意味するかが分かっていないと手も足も出ないだろう ある直線と平行ということは、その直線と傾きが同一である事を意味している すなわち平行＝傾きパクレ ということだ。 これさえ分かればなんてことはない （Ａ）平行ゆえにＹ＝５Ｘ－１から傾きをパクリ、a＝５ （Ｂ）y=５X+b（傾きだけ代入した式） これに与えられた点（３、７）を上の式に入れると ７＝５×３ ＋b ｂ＝－８ となる （Ｃ） a＝５、b＝－８ なので答えはｙ=５Ｘ－８ では次にこんな問題を 【問題⑧】 （３，－１）（３，１０）を通る直線を求めろ 【問題⑧解】 どおでした？ Ｘの増加量が ｘは ３ → ３ ＝ ０の移動 となってしまうために、この問題は傾きを求める事はできません。 すなわち、Ｙ＝aX+bの形に当てはめるのは不可能です。 それではこの答えは？ 答えは Ｘ＝３ です。 言われれば気づくと思いますが、Ｙの値が何であろうがＸの値は３なのでこのような直線になります。 一次関数の問題ではＸ＝○とかＹ＝○みたいに、ちゃんとした直線にならない式も存在します。 この問題はグラフを書いてみればすぐに分かります。 【問題⑨】 （１，４）を通りＸ軸に平行な直線 【問題⑨解】 Ｘ軸に平行 → すなわち横線がずーーーっと続いている線の事です。 ここで、答えをＸ＝１ としないでね。 横線がずーーーっと続くって事は、Ｘの値は固定されません。 Ｘは１０であろうが、１００であろうが取りうるってことなんです。 固定されるのはＹの方です。 Ｘがなんの値であろうが、Ｙはずっと４の直線 すなわち答えはＹ＝４ そんな訳で特殊問題にもパターンがあるので覚えておくといいでしょう ①平行＝傾きパクレ ② ・Ｘの値が同じ２点 → Ｘ＝○ ・Ｙの値が同じ２点 → Ｙ＝○ ③ ・Ｘ軸と平行 → Ｙの値が固定（Ｙ＝○） ・Ｙ軸と平行 → Ｘの値が固定（Ｘ＝○） これを丸暗記して欲しいとは思いませんが、一次関数が試験範囲の学校の場合頭の片隅に入れておけば引っかかる可能性が減ります。 次回は、一次関数のちょっとした応用問題を取り扱います |
次へ